题目内容

【题目】如图,直三棱柱中, 分别是, 的中点,已知与平面所成的角为 .

1)证明: ∥平面

2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】试题分析:1连接,交于点的中点,结合的中点,根据三角形中位线定理可得利用直线与平面平行的判定定理证明平面;(2根据勾股定理可得为坐标原点, 轴、轴、轴建立如图的空间坐标系利用向量垂直数量积为零,列方程组分别求出平面的法向量与平面的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析:(1)证明:连接,交于点

的中点

的中点,连接

因为平面 平面

所以∥平面

2解:易知

,得

为坐标原点, 轴、轴、轴建立如图的空间坐标系

是平面的法向量,

,即

可取

同理,设是平面的法向量,则

可取

从而

即二面角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.

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