题目内容

(本小题满分14分)如图,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面CDAB, ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD90º,BC2,PAAB1.

(1)求证:PD⊥AB;
(2)在线段PB上找一点E,使AE//平面PCD;
(3)求点D到平面PBC的距离.
h=
解:(1)∵PA⊥平面CDAB,AB平面ABCD,∴PA⊥AB,  …………2分
又AB⊥AD,PAAD=A,∴AB⊥平面PAD,                   …………3分
∵PD平面PAD,∴AB⊥PD.                                  …………4分
(2)取线段PB的中点E,PC的中点F,连结AE,EF,DF,
EF是△PBC中位线,∴EF∥BC,;                   …………6分
又AD∥BC,,∴四边形EFDA是平行四边形,         …………8分
∴AE∥DF,又AE平面PDC,DF平面PDC,∴AE∥平面PDC,
故线段PB的中点E是符合题意要求的点.                       …………10分
(3)设点D到平面PBC的距离为h.∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,
PB=,S△PBC=PB·BC=,S△BDC=BC·AB="1 " …………12分
∵VP-BDC=VD-PBC,即S△BDC·PA=S△PBC·h,∴h=.          …………14分
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