题目内容
(本小题满分14分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面CDAB， ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD
90º，BC2，PAAB1．
（1）求证：PD⊥AB；
（2）在线段PB上找一点E，使AE//平面PCD；
（3）求点D到平面PBC的距离．
90º，BC2，PAAB1．（1）求证：PD⊥AB；
（2）在线段PB上找一点E，使AE//平面PCD；
（3）求点D到平面PBC的距离．
h=
解：（1）∵PA⊥平面CDAB，AB
平面ABCD，∴PA⊥AB， …………2分
又AB⊥AD，PA
AD=A，∴AB⊥平面PAD， …………3分
∵PD平面PAD，∴AB⊥PD． …………4分
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，
EF是△PBC中位线，∴EF∥BC，
； …………6分
又AD∥BC，
，∴四边形EFDA是平行四边形， …………8分
∴AE∥DF，又AE
平面PDC，DF平面PDC，∴AE∥平面PDC，
故线段PB的中点E是符合题意要求的点． …………10分
（3）设点D到平面PBC的距离为h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB=
，S△PBC=
PB·BC=
，S△BDC=BC·AB="1 " …………12分
∵VP－BDC=VD－PBC，即
S△BDC·PA=S△PBC·h，∴h=． …………14分
平面ABCD，∴PA⊥AB， …………2分又AB⊥AD，PA
AD=A，∴AB⊥平面PAD， …………3分∵PD
平面PAD，∴AB⊥PD． …………4分（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，
EF是△PBC中位线，∴EF∥BC，
； …………6分又AD∥BC，
，∴四边形EFDA是平行四边形， …………8分∴AE∥DF，又AE
平面PDC，DF平面PDC，∴AE∥平面PDC，故线段PB的中点E是符合题意要求的点． …………10分
（3）设点D到平面PBC的距离为h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB=
，S△PBC=PB·BC=，S△BDC=BC·AB="1 " …………12分∵VP－BDC=VD－PBC，即
S△BDC·PA=S△PBC·h，∴h=． …………14分
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。E、F分别是棱CC1、AB中点。
；
的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由
沿棱柱侧面经过棱
到点
的最短路线长为
,设这条最短路线与
．
内是否存在过
平行？证明你的判断；
．
，高为
，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是
