Question

8．已知曲线y=$\frac{1}{3}$x³，
（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，$\frac{8}{3}$）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）切点为（2，$\frac{8}{3}$），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=2处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；
（2）设出切点坐标，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，即可求出切线方程．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{3}$x³，的导数为y′=x²，
在点P（2，f（2））处的斜率为f′（2）=4，
切点为（2，$\frac{8}{3}$），
则曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为y-$\frac{8}{3}$=4（x-2），
即为12x-3y-16=0；
（2）设过点P（2，$\frac{8}{3}$）的直线与曲线相切，切点坐标为（m，$\frac{1}{3}$m³），
所以切线的斜率为f′（m）=m²，
所以切线方程为y-$\frac{1}{3}$m³=m²（x-m），
因为切线过点P（2，$\frac{8}{3}$），
所以$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{3}$m³=m²（2-m），
解得m=2或m=-1，
当m=2时，切线方程为12x-3y-16=0，
当m=-1时，切线方程为3x-3y+2=0．
所以，所求切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0．

点评 本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．