Question

【题目】已知函数f（x）=aex﹣blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ．
（1）求a，b；
（2）证明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=aex﹣blnx，

求导函数可得f′（x）=aex﹣ （x＞0）

∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 ，

∴f（1）= ，f′（1）= ﹣1，

∴ae= ，ae﹣b= ﹣1，

∴a= ，b=1；

（2）证明：函数f（x）=ex﹣2﹣lnx，

由y=ex﹣2﹣（x﹣1）的导数y′=ex﹣2﹣1，

当x＞2时，导数y′＞0，函数y递增；

当x＜2时，导数y′＜0，函数y递减．

可得函数y在x=2处取得极小值也为最小值0，

即有ex﹣2≥x﹣1；

由y=lnx﹣（x﹣1）的导数为y′= ﹣1，

当x＞1时，导数y′＜0，函数y递减；

当0＜x＜1时，导数y′＞0，函数y递增．

可得函数y在x=1处取得极大值也为最大值0，

即有lnx≤x﹣1；

由于等号不同时取得，

则ex﹣2＞lnx，

即有f（x）＞0成立

【解析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程，可得f（1）= ，f′（1）= ﹣1，由此可求a，b的值；（2）构造函数y=ex﹣2﹣（x﹣1），求导函数，确定函数的单调区间，从而可得函数的最小值；构造y=lnx﹣（x﹣1），求出导数和单调区间，可得最大值，故可得证．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．