题目内容
【题目】已知函数f(x)=xlnx﹣ax2在(0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 .
【答案】[ ,+∞)
【解析】解:f′(x)=lnx﹣2ax+1,
若f(x)在(0,+∞)递减,
则lnx﹣2ax+1≤0在(0,+∞)恒成立,
即a≥ 在(0,+∞)恒成立,
令g(x)= ,x∈(0,+∞),
g′(x)=﹣ ,
令g′(x)>0,解得:0<x<1,
令g′(x)<0,解得:x>1,
故g(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
故g(x)max=g(1)= ,
故a≥ ,
所以答案是:[ ,+∞).
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减即可以解答此题.
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