题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=2 ,AD=
,M为DC的中点,将△DAM沿AM折到△D′AM的位置,AD′⊥BM.
(1)求证:平面D′AM⊥平面ABCM;
(2)若E为D′B的中点,求二面角E﹣AM﹣D′的余弦值.
【答案】
(1)证明:由题知,在矩形ABCD中,∠AMD=∠BMC=45°,
∴∠AMB=90°,
又D'A⊥BM,∴BM⊥面D'AM,
∵BM面ABCM,
∴面ABCM⊥面D'AM
(2)解:由(Ⅰ)知,在平面D'AM内过M作直线NM⊥MA,则NM⊥平面ABCM,
故以M为原点, 分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则M(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D'(1,0,1),
于是 ,
,
,
设平面EAM的法向量为 ,
则 令y=1,得平面EAM的一个法向量
,
平面D'AM的一个法向量为 ,
故 ,
即二面角E﹣AM﹣D'的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)推导出∠AMB=90°,D'A⊥BM,从而BM⊥面D'AM,由此能证明面ABCM⊥面D'AM.(Ⅱ)在平面D'AM内过M作直线NM⊥MA,以M为原点, 分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角E﹣AM﹣D'的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能正确解答此题.
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