Question

3．对于函数f（x）与g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）与g（x）是区间D上的“亲密函数”．设函数f（x）=log₄（x-m），g（x）=log₄$\frac{1}{x-3m}$，区间D为[m+2，m+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[m+2，m+3]上都有意义，求实数m的取值范围．
（2）若f（x）与g（x）是区间[m+2，m+3]上的“亲密函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x-m＞0\\ \frac{1}{x-3m}＞0\end{array}\right.$知，当m≥0时，x＞3m；当m＜0时，x＞m，分类讨论可得若f（x）与g（x）在区间[m+2，m+3]上都有意义，的实数m的取值范围．
（2）若f（x）与g（x）是区间[m+2，m+3]上的“亲密函数”，则|f（x）-g（x）|≤1成立，即|log₄（x-m）-log₄$\frac{1}{x-3m}$|≤1成立，结合（1）及对数运算性质和二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x-m＞0\\ \frac{1}{x-3m}＞0\end{array}\right.$知，
当m≥0时，x＞3m；当m＜0时，x＞m，
若f（x）与g（x）在区间[m+2，m+3]上都有意义，
则m≥0时，m+2＞3m，解得：0≤m＜1；
当m＜0时，m+2＞m，解得：m＜0；
综上所述：m＜1．
（2）若f（x）与g（x）是区间[m+2，m+3]上的“亲密函数”，
则|f（x）-g（x）|≤1成立，即|log₄（x-m）-log₄$\frac{1}{x-3m}$|≤1成立，
即|log₄（x-m）（x-3m）|≤1成立，
即$\frac{1}{4}$≤（x-m）（x-3m）≤4成立，
令h（x）=（x-m）（x-3m）=（x-2m）²-m²，x∈[m+2，m+3]，
则由（1）知函数的图象是开口朝上，且以x=2m＜m+2为对称轴的抛物线，
故h（x）在[m+2，m+3]上为增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}≤h（m+2）=4-4m\\ 4≥h（m+3）=9-6m\end{array}\right.$，
解得：m∈[$\frac{5}{6}$，$\frac{15}{16}$]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．