Question

8．已知菱形ABCD与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相切，则菱形ABCD面积的最小值为（　　）

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设菱形的边在第一象限所在直线的方程为：$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=1，化为nx+my=mn（m，n＞0）．与椭圆方程联立化为（3m²+4n²）x²-8mn²x+4n²m²-12m²=0，令△=0，即可得出．

解答 解：设菱形的边在第一象限所在直线的方程为：$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=1，化为nx+my=mn（m，n＞0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{nx+my=mn}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
化为（3m²+4n²）x²-8mn²x+4n²m²-12m²=0，
令△=64m²n⁴-16（3m²+4n²）（n²m²-3m²）=0，
化为m²n²=3m²+4n²≥2$\sqrt{3×4}$mn，当且仅当$\sqrt{3}m$=2n=$2\sqrt{6}$时取“=”．
解得mn≥4$\sqrt{3}$，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}×2m×2n$=2mn≥8$\sqrt{3}$．
∴菱形ABCD面积的最小值为8$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题、菱形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．