题目内容
【题目】已知函数f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数，且满足f[f（x）]=x+2，g（1）=﹣1
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】
（1）解：因为f（x）是一次函数，g（x）是反比例函数
∴设f（x）=ax+b（a≠0），g（x）= 
（k≠0），
∵f[f（x）]=x+2，
∴a（ax+b）+b=x+2，
∴a2x+（a+1）b=x+2，
∴ 
，解得：a=1，b=1，
故f（x）=x+1；
∵g（1）=﹣1，故k=﹣1，
故g（x）=﹣ 
（2）解：判断：函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，
由（1）知h（x）= 
+1，设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，
h（x1）﹣h（x2）=（x1﹣ 
）﹣（x2﹣ 
）=（x1﹣x2）（1+ 
），
∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
∴h（x1）﹣h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），
∴函数h（x）在（0，+∞）递增
【解析】（1）设出函数的解析式，通过待定系数法求出函数的解析式即可；（2）求出h（x）的解析式，根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．
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