Question

16．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}）$的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求ω和φ的值；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数y=f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意易得周期为π，可得ω，再由对称轴可得φ值；
（2）利用（1）可得解析式，由x范围结合三角函数的性质可得最值．

解答 解：（1）∵函数f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴?（x）的最小正周期T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又∵f（x）图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）_min=f（0）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（x）_max=f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的对称性和最值，属中档题．