题目内容
6.已知函数f(x)=|x-m|+|x+$\frac{4}{m}$|(m>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥4;
(Ⅱ)若f(2)<5,求m的取值范围.
分析 (Ⅰ)由条件利用绝对值的意义证得不等式f(x)≥4成立.
(Ⅱ)由f(2)<5可得|2-m|+|2+$\frac{4}{m}$|<5,即 $\left\{\begin{array}{l}{0<m<2}\\{2-m+2+\frac{4}{m}<5}\end{array}\right.$ ①,或 $\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m-2+2+\frac{4}{m}<5}\end{array}\right.$②.分别求得①②的解集,再取并集,即得所求.
解答 (Ⅰ)证明:∵函数f(x)=|x-m|+|x+$\frac{4}{m}$|≥|x+$\frac{4}{m}$-(x-m)|=|$\frac{4}{m}$+m|=$\frac{4}{m}$+m≥2$\sqrt{4}$=4,
当且即当$\frac{4}{m}$=m,即m=2时,取等号,∴f(x)≥4.
(Ⅱ)∵f(2)<5,即|2-m|+|2+$\frac{4}{m}$|<5,$\left\{\begin{array}{l}{0<m<2}\\{2-m+2+\frac{4}{m}<5}\end{array}\right.$ ①,或 $\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m-2+2+\frac{4}{m}<5}\end{array}\right.$②.
解①求得 $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$<m<2;解②求得2≤m<4,综上可得,不等式的解集为{m|$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$<m<4}.
点评 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来解,属于中档题.
练习册系列答案
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9.“a=2”是“复数z=$\frac{a+2i}{1-i}$的对应点落在复平面的虚轴上”的 ( )
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A. | 2一$\sqrt{21}$i | B. | $\sqrt{21}$一2i | C. | 1一2i | D. | 2一i |