Question

11．已知二次函数f（x）=3x²+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+mx-2在（2，3）上单调，求实数m的取值范围；
（3）若对于任意的x∈[-2，2]，f（x）+n≤3都成立，求实数n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-2，0为方程f（x）=0的两个实根，代入f（x），解方程可得b，c的值，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的对称轴，讨论与区间（2，3）的关系，即可得到所求m的范围；
（3）依题得，n≤3-f（x）=-3x²-6x+3对于任意的x∈[-2，2]恒成立，只要n≤（-3x²-6x+3）_min，x∈[-2，2]，由单调性可得最小值，即可得到n的范围．

解答 解：（1）依题得，-2，0为方程f（x）=0的两个实根，
即有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=0}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{12-2b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得b=6，c=0．
则f（x）=3x²+6x；
（2）函数g（x）=f（x）+mx-2=3x²+（m+6）x-2在（2，3）上单调，
又二次函数开口向上，对称轴x=-$\frac{m+6}{6}$，
即有-$\frac{m+6}{6}$≤2或-$\frac{m+6}{6}$≥3，
解得m≥-18或m≤-24；
（3）依题得，n≤3-f（x）=-3x²-6x+3对于任意的x∈[-2，2]恒成立，
只要n≤（-3x²-6x+3）_min，x∈[-2，2]，
设h（x）=-3x²-6x+3，x∈[-2，2]，
当x=2时，h（x）_min=-21，
即有n≤-21．

点评 本题考查二次函数和二次方程及二次不等式的关系，考查单调性的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．