题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax3﹣bx+2(a>0)
(1)在x=1时有极值0,试求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在x=2处的切线方程.
【答案】
(1)解:函数f(x)=ax3﹣bx+2的导数为f′(x)=3ax2﹣b,
在x=1时有极值0,可得f(1)=0,且f′(1)=0,
即为a﹣b+2=0,且3a﹣b=0,
解得a=1,b=3,
可得f(x)=x3﹣3x+2
(2)解:f′(x)=3ax2﹣b,
可得f(x)在x=2处的切线斜率为12a﹣b,
切点为(2,8a﹣2b+2),
即有f(x)在x=2处的切线方程为y﹣(8a﹣2b+2)=(12a﹣b)(x﹣2),
化为(12a﹣b)x﹣y﹣16a+2=0
【解析】(1)求出f(x)的导数,可得f(1)=0,且f′(1)=0,得到a,b的方程,解方程可得a,b的值,进而得到f(x)的解析式;(2)求出f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求切线的方程.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题.
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