题目内容
【题目】已知函数y=f(x)对任意的x∈(﹣ ,
)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 . ①
f(﹣
)<f(﹣
)
② f(
)<f(
)
③f(0)>2f( )
④f(0)> f(
)
【答案】①
【解析】解:构造函数g(x)= ,
则g′(x)= (f′(x)cosx+f(x)sinx),
∵对任意的x∈(﹣ ,
)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,
∴g′(x)>0,即函数g(x)在x∈(﹣ ,
)单调递增,
则g(﹣ )<g(﹣
),即
<
,
∴ <
,即
f(﹣
)<f(﹣
),故①正确,
g( )>g(
),即
>
,
∴ >
,即
f(
)>f(
),故②错误,
g(0)<g( ),即
<
,
∴f(0)<2f( ),故③错误,
g(0)<g( ),即
<
,
∴f(0)< ,即f(0)<
f(
),故④错误,
所以答案是:①.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
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