题目内容
17.设函数f(x)=lg(1-2x)的定义域为集合M,g(x)=$\sqrt{4-{2}^{x}}$的定义域为集合N,记P=(∁RM)∩N.(1)求P;
(2)求函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的值域.
分析 (1)由函数的图象和性质,求出两个函数的定义域M,N,代入集合的补集及交集运算公式,可得集合P;
(2)分析函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的单调性,结合二次函数和指数函数的图象和性质,可得函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的值域.
解答 解:(1)由1-2x>0得:x<$\frac{1}{2}$,
∴M=(-∞,$\frac{1}{2}$),∁RM=[$\frac{1}{2}$,+∞),
由4-2x≥0得:x≤$\frac{1}{2}$,
∴N=(-∞,2],
∴P=(∁RM)∩N=[$\frac{1}{2}$,2];
(2)函数h(x)=log2x2+1=2log2x+1在[$\frac{1}{2}$,2]为增函数,
当x=$\frac{1}{2}$时,函数取最小值-1,当x=2时,函数取最大值3,
故函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的值域为[-1,3].
点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,函数的定义域、值域,是二次函数图象与性质和对数函数图象与性质的综合应用,难度中档.
练习册系列答案
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7.某中学对高二甲、乙两个同类班级,进行“加强‘语文阅读理解’训练,对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示:
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
(I)试分析估计两个班级的优秀率;
(Ⅱ)由以上统计数据填写下面2x2列联表,根据以上数据,能杏有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助?
参考公式及数据:x2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
60分以下 | 61-70分 | 71-80分 | 81-90分 | 91-100分 | |
甲班(人数) | 3 | 6 | 11 | 18 | |
12乙班(人数) | 7 | 13 | 10 | 10 | 10 |
(I)试分析估计两个班级的优秀率;
(Ⅱ)由以上统计数据填写下面2x2列联表,根据以上数据,能杏有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助?
优秀人数 | 非优秀人数 | 合计 | |
甲班 | |||
乙班 | |||
合计 |
P(x2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.028 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
8.若(2+x)7=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a7(x+1)7,则a1+a3+a5+a7等于( )
A. | $\frac{127}{2}$ | B. | $\frac{255}{2}$ | C. | 64 | D. | 128 |
5.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( )
A. | 等边三角形 | B. | 不含60°的等腰三角形 | ||
C. | 钝角三角形 | D. | 直角三角形 |
12.如图,一个子弹运动的轨迹是一个三次函数图象的一部分,则这个函数的解析式是( )
A. | y=-$\frac{1}{3}$x3+$\frac{5}{6}$x | B. | y=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{11}{6}x$ | C. | y=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-$\frac{19}{6}x$ | D. | y=$\frac{1}{16}{x}^{3}-\frac{3}{4}x$ |
2.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为( )
A. | x4 | B. | (x-1)4 | C. | (x+1)4 | D. | x4-1 |
9.已知cosα=$\frac{5}{13}$,α是第一象限角,则sin(π+α)的值为( )
A. | $\frac{5}{13}$ | B. | -$\frac{5}{13}$ | C. | $\frac{12}{13}$ | D. | -$\frac{12}{13}$ |
7.一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
(1)要在这五名学生中选2名参加一项活动,求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率.
(2)根据上表数据,用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱,如果具有较强的线性相关关系,求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01);如果不具有线性相关关系,请说明理由.
参考公式:
相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i-}\overline{x})^2\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^2}}$
回归直线的方程:$\widehat{y}$=$\widehat{b}x+\widehat{a}$,其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^2}$,$\widehat{a}=\widehat{y}-\widehat{b}x$,$\widehat{{y}_{i}}$是与xi对应的回归估计值.
参考数据:$\overline{x}$=93,$\overline{y}$=90,$\sum_{i=1}^{n}{(x}_{i}-\overline{x})^2$=40,$\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^2$=24,$\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})$=30,$\sqrt{40}$≈6.32,$\sqrt{24}$≈4.90.
学生 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
数学 | 89 | 91 | 93 | 95 | 97 |
物理 | 87 | 89 | 89 | 92 | 93 |
(2)根据上表数据,用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱,如果具有较强的线性相关关系,求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01);如果不具有线性相关关系,请说明理由.
参考公式:
相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i-}\overline{x})^2\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^2}}$
回归直线的方程:$\widehat{y}$=$\widehat{b}x+\widehat{a}$,其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^2}$,$\widehat{a}=\widehat{y}-\widehat{b}x$,$\widehat{{y}_{i}}$是与xi对应的回归估计值.
参考数据:$\overline{x}$=93,$\overline{y}$=90,$\sum_{i=1}^{n}{(x}_{i}-\overline{x})^2$=40,$\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^2$=24,$\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})$=30,$\sqrt{40}$≈6.32,$\sqrt{24}$≈4.90.