题目内容

17.设函数f(x)=lg(1-2x)的定义域为集合M,g(x)=$\sqrt{4-{2}^{x}}$的定义域为集合N,记P=(∁RM)∩N.
(1)求P;
(2)求函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的值域.

分析 (1)由函数的图象和性质,求出两个函数的定义域M,N,代入集合的补集及交集运算公式,可得集合P;
(2)分析函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的单调性,结合二次函数和指数函数的图象和性质,可得函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的值域.

解答 解:(1)由1-2x>0得:x<$\frac{1}{2}$,
∴M=(-∞,$\frac{1}{2}$),∁RM=[$\frac{1}{2}$,+∞),
由4-2x≥0得:x≤$\frac{1}{2}$,
∴N=(-∞,2],
∴P=(∁RM)∩N=[$\frac{1}{2}$,2];
(2)函数h(x)=log2x2+1=2log2x+1在[$\frac{1}{2}$,2]为增函数,
当x=$\frac{1}{2}$时,函数取最小值-1,当x=2时,函数取最大值3,
故函数h(x)=log2x2+1(x∈P)的值域为[-1,3].

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,函数的定义域、值域,是二次函数图象与性质和对数函数图象与性质的综合应用,难度中档.

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