Question

【题目】设椭圆M： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点A（a，0），B（0，﹣b），原点O到直线AB的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=2x+m与椭圆M相交于C、D不同两点，经过线段CD上点E的直线与y轴相交于点P，且有 =0，| |=| |，试求△PCD面积S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得a=
可得直线AB的方程为 ，于是 ，
得b= ，b2=2，a2=4，所以椭圆M的方程为
（Ⅱ）设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由方程组 ，
得9x2+8mx+2m2﹣4=0，
所以有 ， ，且△≥0，即m2≤18．

=
=
=
= ．
因为 =0，
所以 ，
又| |=| |，
所以E是线段CD的中点，
点E的坐标为 ，即E的坐标是 ，
因此直线PE的方程为y=﹣ ，得点P的坐标为（0，﹣ ），
所以|PE|=
= ．（2分）
因此
= ．
所以当m2=9，即m=±3时，S取得最大值，最大值为 ．
【解析】（Ⅰ）由 得a= ．可得直线AB的方程为 ，于是 ，由此能够求出椭圆M的方程．（Ⅱ）设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由方程组 ，得9x2+8mx+2m2﹣4=0，所以有 ， ，且△≥0，即m2≤18. = ．由 ，E是线段CD的中点，由此能求出S的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．