题目内容
【题目】设函数(
为自然对数的底数),
,
.
(1)若是
的极值点,且直线
分别与函数
和
的图象交于
,求
两点间的最短距离;
(2)若时,函数
的图象恒在
的图象上方,求实数
的取值范围.
【答案】(1)1(2)
【解析】试题分析:
(1)结合题意可得|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,结合函数的性质可得两点间的最短距离是1;
(2)构造函数,结合题意可得实数
的取值范围是
.
试题解析:
(1)因为F(x)=ex+sinxax,所以F′(x)=ex+cosxa,
因为x=0是F(x)的极值点,所以F′(0)=1+1a=0,a=2.
又当a=2时,若x<0,F′(x)=ex+cosxa<1+12=0,
所以F′(x)在(0,+∞)上为增函数,所以F′(x)>F′(0)=1+12=0,所以x=0是F(x)的极小值点,
所以a=2符合题意,所以|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,即h′(x)=ex+cosx2,
因为h′′(x)=exsinx,当x>0时,ex>1,1sinx1,
所以h′′(x)=exsinx>0,所以h′(x)=ex+cosx2在(0,+∞)上递增,
所以h′(x)=ex+cosx2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)时,h(x)的最小值为h(0)=1,所以|PQ|min=1.
(2)令,
则,
,
因为当
时恒成立,
所以函数在
上单调递增,∴
当
时恒成立;
故函数在
上单调递增,所以
在
时恒成立.
当时,
,
在
单调递增,即
.
故时
恒成立.
当时,因为
在
单调递增,所以总存在
,使
在区间
上
,导致
在区间
上单调递减,而
,所以当
时,
,这与
对
恒成立矛盾,所以
不符合题意,故符合条件的
的取值范围是
.
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