Question

【题目】如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．
（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求三棱锥D﹣BEF的体积；
（3）求直线AF与平面BDF所求的角．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME．

由题设知，CE DF，MO DF，∴CE MO，

∴四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC．

又AC平面BEF，EM平面BEF，

∴AC∥平面BEF

（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，

∴BC⊥平面DEF．

∴三棱锥D﹣BEF的体积为：

（3）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，

又FD⊥CD，∴FD⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴AC⊥DF

又在正方形ABCD中，AC⊥BD，BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDF，

连结FO，∵AF与平面BDF所成角为∠AFO，又AB=AD=DF=2，

∴ ， ，

∴ ，

∴直线AF与平面BDF所求的角为 ．

【解析】（1）取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，从而EM∥AC，由此能证明AC∥平面BEF．（2）推导出BC⊥平面DEF，从而三棱锥D﹣BEF的体积为 ，由此能求出结果．（3）推导出FD⊥平面ABCD，AC⊥DF，AC⊥平面BDF，连结FO，则AF与平面BDF所成角为∠AFO，由此能求出直线AF与平面BDF所求的角的大小．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．