题目内容
【题目】已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
【答案】(1)y=-2x±3(2)
【解析】(1)设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,
∵直线与圆相切,∴=3,得b=±3
,∴所求直线方程为y=-2x±3
.
(2)(解法1)假设存在这样的点B(t,0),
当P为圆C与x轴左交点(-3,0)时,=
;
当P为圆C与x轴右交点(3,0)时,=
,
依题意,=
,解得,t=-5(舍去),或t=-
.
下面证明点B对于圆C上任一点P,都有
为一常数.
设P(x,y),则y2=9-x2,
∴=
,从而
=
为常数.
(解法2)假设存在这样的点B(t,0),使得为常数λ,则PB2=λ2PA2,∴(x-t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],将y2=9-x2代入得,x2-2xt+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2),即
2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0对x∈[-3,3]恒成立,
∴解得
(舍去),
所以存在点B对于圆C上任一点P,都有
为常数
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