题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在区间
上的最大值和最小值;
(2)若在区间上,函数
的图像恒在直线
下方,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间上为增函数,所以
为最小值,
为最大值,即可求出;(2)令
,则
的定义域为
.证
在区间
上恒成立即得证.求出
分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出
的范围即可.
试题解析:(1)当时,
,
;
对于,有
,
所以在区间
上为增函数,
所以,
.
(2)令,则
的定义域为
.
在区间上,函数
的图象恒在直线
下方的等价于
在区间
上恒成立.
∵
,
①若,令
,得极值点
,
,
当,即
时,在
上有
,
此时在区间
上是增函数,并且在该区间上有
,不合题意;
当,即
时,同理可知,
在区间
上是增函数,有
,不合题意;
②若,则有
,此时在区间
上恒有
,
从而在区间
上是减函数;
要使在此区间上恒成立,只需满足
,即
,
由此求得的范围是
.
综合①②可知,当时,函数
的图象恒在直线
下方.
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