题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;
(2)若在区间上,函数的图像恒在直线下方,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ), (Ⅱ)
【解析】试题分析:(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间上为增函数,所以为最小值, 为最大值,即可求出;(2)令,则的定义域为.证在区间上恒成立即得证.求出分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出的范围即可.
试题解析:(1)当时, , ;
对于,有,
所以在区间上为增函数,
所以, .
(2)令,则的定义域为.
在区间上,函数的图象恒在直线下方的等价于在区间上恒成立.
∵ ,
①若,令,得极值点, ,
当,即时,在上有,
此时在区间上是增函数,并且在该区间上有,不合题意;
当,即时,同理可知, 在区间上是增函数,有,不合题意;
②若,则有,此时在区间上恒有,
从而在区间上是减函数;
要使在此区间上恒成立,只需满足,即,
由此求得的范围是.
综合①②可知,当时,函数的图象恒在直线下方.
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