题目内容
10．已知0＜a＜1，试比较|1-3a|与2a$\sqrt{a}$的大小．分析 由|1-3a|＞0，2a$\sqrt{a}$＞0，分别平方，构造函数f（a）=4a3-9a2+6a-1，通过求导得到函数的值域，通过讨论a的范围，从而比较大小．
解答 解：∵0＜a＜1，|1-3a|＞0，2a$\sqrt{a}$＞0，
∴|1-3a|2=9a2-6a+1，${（2a\sqrt{a}）}^{2}$=4a3，
令f（a）=4a3-9a2+6a-1，f′（a）=6（2a-1）（a-1），
令f′（a）＞0，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，令f′（a）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∴函数f（a）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减，
∴f（a）最大值=f（a）极大值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
而f（0）=-1，f（1）=0，f（$\frac{1}{4}$）=0，
∴0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（a）＜0，∴|1-3a|＞2a$\sqrt{a}$，
a=$\frac{1}{4}$时，|1-3a|=2a$\sqrt{a}$，
$\frac{1}{4}$＜a＜1时，f（a）＞0，∴|1-3a|＜2a$\sqrt{a}$．
点评 本题考查了比较大小的问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．
练习册系列答案
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1．已知命题p：?α∈R，cos （π-α）=cos α；命题q：?x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（ ）
| A． | p∨q是真命题 | B． | p∧q是假命题 | C． | ￢q是真命题 | D． | p 是假命题 |
如图所示，F1、F2分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，△ABO的面积为$\sqrt{5}$．