Question

3．如图，在三棱锥A-BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2$\sqrt{2}$，动点D在线段AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）当OD⊥AB时，求三棱锥C-OBD的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证平面COD⊥平面AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD内一直线与平面AOB垂直，根据勾股定理可知OC⊥OB，根据线面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC?平面COD，满足定理所需条件；
（2）OD⊥AB，OD=$\sqrt{3}$，此时，BD=1．根据三棱锥的体积公式求出所求即可．

解答 （1）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．
∵BC=2$\sqrt{2}$，由勾股定理得OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB．
∵OC?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．
（2）解：∵OD⊥AB，∴OD=$\sqrt{3}$，此时，BD=1．
∴V_C-OBD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×2$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及三棱锥C-OBD的体积的求解，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，属于中档题．