题目内容
8．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%．（Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？
分析 （Ⅰ）依题意每年投入构成首项为800万元，公比为$\frac{4}{5}$的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为$\frac{5}{4}$的等比数列，进而求出an，bn的表达式．
（Ⅱ）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由bn-an＞0，解得n的取值范围即可．
解答 （Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公比为$\frac{4}{5}$的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为$\frac{5}{4}$的等比数列．
所以，${a_n}=800•{（\frac{4}{5}）^{n-1}}，\;{b_n}=400{（\frac{5}{4}）^{n-1}}$，
（Ⅱ）解，经过n年，总收投入${s_n}=\frac{{800（1-{{（\frac{4}{5}）}^n}）}}{{1-\frac{4}{5}}}=4000（1-{（\frac{4}{5}）^n}）$，
经过n年，总收入${T_n}=\frac{{400（1-{{（\frac{5}{4}）}^n}）}}{{1-\frac{5}{4}}}=1600（{（\frac{5}{4}）^n}-1）$，
设经过n年，总收入超过总投入，由此，Tn-Sn＞0，$1600（{（\frac{5}{4}）^n}-1）$$-4000（1-{（\frac{4}{5}）^n}）$＞0，
化简得 $5•{（\frac{4}{5}）^n}+2•{（\frac{5}{4}）^n}-7＞0$，
设$x={（\frac{4}{5}）^n}$代入上式整理得，5x2-7x+2＞0，
解得，$x＜\frac{2}{5}$，或x＞1（舍去），
由${（\frac{4}{5}）^n}＜\frac{2}{5}$，n=4时，${（\frac{4}{5}）^n}$=$\frac{256}{625}$$＞\frac{2}{5}$，n=5，${（\frac{4}{5}）^n}$=$\frac{1024}{3125}＜\frac{2}{5}$，
因为 $y={（\frac{4}{5}）^x}$在定义域上是减函数，所以 n≥5，
答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入．
点评 本小题主要考查数列的基本应用、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．
| A． | 135° | B． | 150° | C． | 90° | D． | 120° |
| A． | 4x′2+9y′2=1 | B． | $\frac{{{{x'}^2}}}{2}+\frac{{{{y'}^2}}}{3}=1$ | C． | $\frac{{{{x'}^2}}}{9}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$ | D． | $\frac{{{{x'}^2}}}{4}+\frac{{{{y'}^2}}}{9}=1$ |
如图，在三棱锥A-BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2$\sqrt{2}$，动点D在线段AB上．| A． | （-3，0） | B． | （3，0） | C． | （2，0） | D． | （4，0） |
| A． | 是等差数列，但不是等比数列 | B． | 是等比数列，但不是等差数列 | ||
| C． | 既是等差数列，又是等比数列 | D． | 非等差数列，又非等比数列 |