题目内容

【题目】设函数 (为自然对数的底数),.

(1)证明:当时, 没有零点;

(2)若当时, 恒成立,求的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】试题分析:1,令 没有零点,可以看作函数的图象无交点,求得直线与曲线无交点,即可得到结论.

2由题意,分离参数得,设出新函数,得出函数的单调性,求解函数的最小值,即可求解的取值范围.

试题解析:

(1)解法一:∵.

,解得;令,解得

上单调递减,在上单调递增.

.

时,

的图象恒在轴上方,∴没有零点.

解法二:由,令

没有零点,可以看作函数的图象无交点,

设直线于点,则,解得

,代入,又

∴直线与曲线无交点,即没有零点.

(2)当时, ,即

,即.

,则.

时, 恒成立,

,解得;令,解得

上单调递减,在上单调递增,

.的取值范围是.

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