题目内容
【题目】设函数 (
为自然对数的底数),
.
(1)证明:当时,
没有零点;
(2)若当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)由,令
,
,把
没有零点,可以看作函数
与
的图象无交点,求得直线
与曲线
无交点,即可得到结论.
(2)由题意,分离参数得,设出新函数
,得出函数
的单调性,求解函数
的最小值
,即可求解
的取值范围.
试题解析:
(1)解法一:∵,∴
.
令,解得
;令
,解得
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增.
∴.
当时,
,
∴的图象恒在
轴上方,∴
没有零点.
解法二:由得
,令
,
,
则没有零点,可以看作函数
与
的图象无交点,
设直线切
于点
,则
,解得
,
∴,代入
得
,又
,
∴直线与曲线
无交点,即
没有零点.
(2)当时,
,即
,
∴,即
.
令,则
.
当时,
恒成立,
令,解得
;令
,解得
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴.∴
的取值范围是
.
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