题目内容

7.在平面直角坐标系xoy中,A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数λ,μ,使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,则λ2+(μ-3)2的取值范围是(  )
A.[0,+∞)B.(2,+∞)C.[2,+∞)D.(8,+∞)

分析 因为A,B,C互异,所以-1<$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$<1,由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,得${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$,则f(μ)=λ2+(μ-3)2=$1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+{(μ-3)}^{2}$=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$,由此能得到λ2+(μ-3)2的取值范围.

解答 解:因为A,B,C,互异,所以-1<$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$<1,
由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$,得${λ}^{2}=1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$,
则f(μ)=λ2+(μ-3)2=$1+{μ}^{2}-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+{(μ-3)}^{2}$=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$>2μ2-8μ+10≥2.
f(μ)=$2{μ}^{2}-6μ-2μ\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+10$<2μ2-4μ+10,无最大值,
∴λ2+(μ-3)2的取值范围是(2,+∞).
故选:B.

点评 本题考查圆的性质和应用以及向量基本定理的应用,综合性较强,有一定的难度.

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