题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面是矩形,面面,且是边长为2的等边三角形, , 在上,且面
(1)求证: 是的中点;
(2)求直线与所成角的正切值;
(3)在上是否存在点,使二面角为直角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2) (3)
【解析】试题分析:(1)连接AC交BD于E,连接ME,可得PA∥面MBD,且ME是平面PAC与平面MDB的交线,得PA∥ME,即M是PC的中点;
(2)取AD中点,由(1)知OA、OE、OP两两垂直,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出所成角的余弦值,得到正弦值,进一步得到直线PA与MB所成角的正切值;
(3)设在PA上是否存在点F,使二面角F﹣BD﹣M为直角,且,则由,得F(1﹣λ,0, ),分别求出平面MBD与平面FBD的一个法向量,由两法向量垂直求得λ值,可得存在点F,使二面角F﹣BD﹣M为直角,此时.
试题解析:
(1)证明:连交于,连.∵是矩形,∴是中点.又面,且是面与面的交线,∴,∴是的中点.
(2)取中点,由(1), , 两两垂直.以为原点, , , 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为
, , , , , .
(3)设存在满足要求,且,则由得,
平面的一个法向量为,
平面的一个法向量为, ,得,解得,故存在,使二面角为直角,此时.
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