题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是矩形,面
面
,且
是边长为2的等边三角形,
,
在
上,且
面
(1)求证: 是
的中点;
(2)求直线与
所成角的正切值;
(3)在上是否存在点
,使二面角
为直角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2) (3)
【解析】试题分析:(1)连接AC交BD于E,连接ME,可得PA∥面MBD,且ME是平面PAC与平面MDB的交线,得PA∥ME,即M是PC的中点;
(2)取AD中点,由(1)知OA、OE、OP两两垂直,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出所成角的余弦值,得到正弦值,进一步得到直线PA与MB所成角的正切值;
(3)设在PA上是否存在点F,使二面角F﹣BD﹣M为直角,且,则由
,得F(1﹣λ,0,
),分别求出平面MBD与平面FBD的一个法向量,由两法向量垂直求得λ值,可得存在点F,使二面角F﹣BD﹣M为直角,此时
.
试题解析:
(1)证明:连交
于
,连
.∵
是矩形,∴
是
中点.又
面
,且
是面
与面
的交线,∴
,∴
是
的中点.
(2)取中点
,由(1)
,
,
两两垂直.以
为原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为
,
,
,
,
,
.
(3)设存在满足要求,且
,则由
得
,
平面的一个法向量为
,
平面的一个法向量为
,
,得
,解得
,故存在
,使二面角
为直角,此时
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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