题目内容
【题目】记分别为函数
的导函数.若存在
,满足
且
,则称
为函数
与
的一个“S点”.
(1)证明:函数与
不存在“S点”;
(2)若函数与
存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数,
.对任意
,判断是否存在
,使函数
与
在区间
内存在“S点”,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)a的值为
(3)对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
【解析】分析:(1)根据题中“S点”的定义列两个方程,根据方程组无解证得结论;(2)同(1)根据“S点”的定义列两个方程,解方程组可得a的值;(3)通过构造函数以及结合 “S点”的定义列两个方程,再判断方程组是否有解即可证得结论.
详解:解:(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.
由f(x)=g(x)且f′(x)= g′(x),得
,此方程组无解,
因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.
(2)函数,
,
则.
设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0),得
,即
,(*)
得,即
,则
.
当时,
满足方程组(*),即
为f(x)与g(x)的“S”点.
因此,a的值为.
(3)对任意a>0,设.
因为,且h(x)的图象是不间断的,
所以存在∈(0,1),使得
,令
,则b>0.
函数,
则.
由f(x)与g(x)且f′(x)与g′(x),得
,即
(**)
此时,满足方程组(**),即
是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.

【题目】世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 |
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布
,若该市共有高中毕业生35000人,试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上;
(3)已知本数据中旅游费用支出在范围内的8名学生中有5名女生,3名男生, 现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:若,则
,
,
.