Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．

（1）求证：AE⊥PB;

（2）求三棱锥C-ABE的体积.

（3）求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE平面PAC，进而BC⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB．

（2）求，转化为以E为顶点，以ABC为底面时的体积来求即可。

（3）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角APBC的平面角，由此能求出二面角APBC的正弦值．

解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC

∴PA⊥BC，

又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点

∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又PA∩AC＝A

∴BC⊥平面PAC，又AE平面PAC

∴BC⊥AE

∵PA＝AC，E是PC的中点

∴AE⊥PC，又BC∩PC＝C

∴AE⊥平面PBC，又PB平面PBC

∴AE⊥PB．

（2）由已知可得

对于以E为顶点，以为底面时，

因为E是PC的中点，所以E到面ABC的距离等于，

在中，

（3）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF

又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF＝A

∴PB⊥平面AEF，又EF平面AEF

∴PB⊥EF，又AF⊥PB

∴∠AFE是二面角APBC的平面角

∵在Rt△PAC中，PA＝AC＝1，则

在Rt△PAB中，PA＝1，AB＝，同理得

∴在Rt△AEF中，

故二面角APBC的正弦值为