题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）求的极值；
（3）若函数的图象与函数
的图象在区间
上有公共点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）求导，把
代入导函数中，求出曲线
在点
处的切线的斜率，再求出
的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；
（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出的极值；
（3）函数的图象与函数
的图象在区间
上有公共点，即在区间上，
有解，这就要求函数在上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数
的取值范围.
（1）因为
，所以
，所以有
，
而
，曲线在点处的切线方程为：
；
（2）函数的定义域为
，
，
令
，得
，当
时，
是增函数；
当
时，
是减函数，所以函数在处取得极大值，即为
，所以的极值为；
（3）①当
时，即
时，由（2）可知：当时，函数单调递增，当
时，函数单调递减，函数在处取得极大值，即为，所以的最大值为，又当
时，函数的值为零，故当
时，
，当
时，
，函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，等价于
，解得；
②当
时，即
时，由（2）可知函数在上单调递增，函数在上的最大值为
，原问题等价于
，解得
，而，所以无解，综上所述：实数的取值范围是.
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