Question

4．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+1
（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时．求函数f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的倍角公式降幂，再利用辅助角公式化积，则函数f（x）的图象的对称轴方程可求；
（Ⅱ）由x得范围求得相位的范围，则函数的最大值可求，进一步求得f（x）取得最大值时x的集合．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+1
=$\sqrt{3}sin2x+（1+cos2x）+1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}+2）$．
由$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，得函数f（x）的图象的对称轴方程是$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，∴2x+$\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，则sin（2x+$\frac{π}{6}$）$∈[\frac{1}{2}，1]$，
∴3≤f（x）≤4．
∴f（x）_max=4，此时$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）的最大值为4，此时自变量x的集合为{$\frac{π}{6}$}．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数最值的求法，是基础题．