Question

14．如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．求直线D₁E与平面A₁D₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析 分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴，建立空间坐标系．得出∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（0，1，0），平面A₁D₁B的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，2）
利用sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞|求解即可．

解答 解；∵正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，
∴可得出AD，AB，AA₁两两垂直，
分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴，建立空间坐标系．
∵AB=2AD=2，点E为AB的中点
∴E（1，0，0），D₁（0，1，1），A₁（0，0，1），B（2，0，0），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（0，1，0）
设平面A₁D₁B的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$
得出$\overrightarrow{n}$=（1，0，2）
∵cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{D}_{1}E}|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴直线D₁E与平面A₁D₁B所成角的正弦值．sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$＞|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$

点评 本题考查了空间几何体的性质，空间想象能力，空间坐标系在求解夹角中的应用，属于中档题，关键是求解所用到的向量的坐标．