题目内容
【题目】已知等差数列{an}中,a1=1,且a1 , a2 , a4+2成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn;
(2)设 ,求数列{bn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.
∴ =a1(a4+2),即(1+d)2=1×(1+3d+2),解得d=2或﹣1.
其中d=﹣1时,a2=0,舍去.
∴d=2,可得an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
Sn= =n2.
(2)解: =
.
∴当n为偶数时, =
=16.当n为奇数时,
=
=
.
∴数列{bn}的奇数项是以 为首项,
为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.
∴数列{bn}的前2n项和T2n=(b1+b3+…+b2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n)
= +
= (16n﹣16﹣n).
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.可得: =a1(a4+2),即(1+d)2=1×(1+3d+2),解得d.经过验证可得d,再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.(2)
=
.当n为偶数时,
=
=16.当n为奇数时,
=
=
.可得数列{bn}的奇数项是以
为首项,
为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.利用求和公式即可得出.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.

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