题目内容
【题目】如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为 
；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120° 
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
【答案】
（1）解：因为图象的最高点为 
所以A= 
，
由图知y=Asinx的周期为T=12，又T= 
，所以ω= 
，所以y= 
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|= 
（2）解：在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得 
，
所以NP= 
，MN= 
设使折线段赛道MNP为L则
L= 
= 
= 
所以当角θ=30°时L的最大值是 
．
【解析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．
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