Question

【题目】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．

（1）求证：BD⊥EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解法1

证明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，∴EF⊥AE，

又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF平面BCFE，

∴AE⊥平面BCFE．

过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．

∵EG平面BCFE，

∴DH⊥EG．

∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，

∴EH=AD=2，

∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，

∴四边形BGHE为正方形，

∴BH⊥EG，

又BH∩DH=H，BH平面BHD，DH平面BHD，

∴EG⊥平面BHD．

∵BD平面BHD，

∴BD⊥EG．

解法2

证明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，

又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．

以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．

∴ ， ，

∴ ，

∴BD⊥EG．

（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE

由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD

∵DE平面AEFD，∴GH⊥DE

取DE的中点M，连接MH，MG

∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE

∵MH∩GH=H，MH平面GHM，GH平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG

∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，

在△GMH中， ，∴

∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为 ．

解法2

解：由已知得 是平面DEF的法向量．

设平面DEG的法向量为 ，

∵ ，

∴ ，即 ，令x=1，得 ．…

设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，

则 …

∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为 ．…

【解析】解法1（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；（2）先证明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；

解法2（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明 ，可得BD⊥EG；（2）由已知得 是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量 ，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．