题目内容
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,侧面PAD⊥底面ABCD,E,F分别为PA,BD的中点,PA=PD=AD=2,$AB=2\sqrt{2}$,∠DAB=45°.(Ⅰ)求证:EF∥平面PBC;
(Ⅱ)求证:平面DEF⊥平面PAD.
分析 (Ⅰ)由中位线定理和线面平行的判定定理,即可得证;
(Ⅱ)运用余弦定理,可得BD=2,BD⊥AD,运用面面垂直的性质定理和判定定理,即可得证.
解答 证明:(Ⅰ)连结AC,因为底面ABCD是平行四边形,
所以F是AC中点.
在△PAC中,又E是PA中点,所以EF∥PC.
又因为EF?平面PBC,PC?平面PBC,
所以EF∥平面PBC;
(Ⅱ)在△ABD中,因为$AD=2,AB=2\sqrt{2}$,∠DAB=45°,
由余弦定理得:BD=$\sqrt{{2}^{2}+(2\sqrt{2})^{2}-2×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2,
所以BD⊥AD.
因为面PAD⊥底面ABCD,且面PAD∩面ABCD=AD,
又BD?平面ABCD,
所以BD⊥面PAD.
因为BD?面DEF,
所以平面DEF⊥平面PAD.
点评 本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
练习册系列答案
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