Question

20．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，g（n）=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$（n∈N^*），求g（n）的解析式．

Answer 1

分析 （1）赋值法，令a=b=0和令a=b=1，可分别求出f（0）、f（1）
（2）构造f（-x）和f（x）之间的关系式，看符合奇函数还是偶函数，先赋值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可
（3）从而可知数列{$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$}是以-1为，-1为首项的等差数列，故可求数列{A_n}的通项公式，从而得出数列g（n）的通项公式

解答 解：（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），则f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，
∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函数．
（3）令a=2，b=$\frac{1}{2}$，得f（1）=2f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（2），且f（2）=2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
设A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-（n-1）+2A_n，
∴$\frac{{A}_{n-1}}{{2}^{-（n-1）}}$=1+$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$，
即$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$-$\frac{{A}_{n-1}}{{2}^{-（n-1）}}$=-1，且$\frac{{A}_{1}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$=-1，
即数列{$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$}是以-1为，-1为首项的等差数列，
∴$\frac{{A}_{n}}{{2}^{-n}}$=-n，
∴A_n=-n•2^-n
∴g（n）=-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查赋值法的巧妙使用、奇函数和偶函数的判定以及等差数列的证明和通项公式的求法，属中档题