Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a（a＞0，x∈R）
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）；求函数g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调性，求出区间上的最大值和最小值，进而求出g（t）的表达式即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，
∴当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当-1＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）的单调增区间为：（-∞，-1），（a，+∞）；单调减区间为：（-1，a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：0＜a＜3时：
f（x）在[0，a）递减，在（a，3]递增，
∴m（t）=f（x）_min=f（a）=-$\frac{1}{6}$a³-$\frac{1}{2}$a²-a，
而f（0）=-a，f（3）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，
若f（0）＞f（3），即-a＞$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，解得：a＞$\frac{27}{15}$，
∴$\frac{27}{15}$＜a＜3时：M（t）=f（0）=-a，
∴g（t）=M（t）-m（t）=-a+$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a=$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²，
0＜a≤$\frac{27}{15}$时：f（3）≥f（0），
M（t）=f（3）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，
∴g（t）=M（t）-m（t）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a+$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a=$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²-$\frac{15}{2}$a+$\frac{27}{2}$，
a≥3时：f（x）在[0，3]递减，
∴M（t）=f（x）_max=f（0）=-a，m（t）=f（x）_min=f（3）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，
∴g（t）=M（t）-m（t）=-a-$\frac{27}{2}$+$\frac{17}{2}$a=$\frac{15a}{2}$-$\frac{17}{2}$，
综上g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{6}a}^{3}+{\frac{1}{2}a}^{2}-\frac{15}{2}a+\frac{27}{2}，0＜a≤\frac{27}{15}}\\{{\frac{1}{6}a}^{3}+{\frac{1}{2}a}^{2}，\frac{27}{15}＜a＜3}\\{\frac{15a}{2}-\frac{17}{2}，a≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数闭区间上的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．