Question

3．已知直线2x+y+m=0与圆x²+y²=36交于A、B两点，则与向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）垂直的一个向量为（　　）

• A． （2，1）
• B． （1，2）
• C． （1，-2）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与圆的方程联立化为5x²+4mx+m²-36=0，利用根与系数的关系可得：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$（-\frac{4m}{5}，\frac{2m}{5}）$，与向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）垂直的一个向量（x，y）满足$-\frac{4m}{5}$x-$\frac{2m}{5}y$=0，只有把答案中的坐标代入验证即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+m=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=36}\end{array}\right.$，
化为5x²+4mx+m²-36=0，
△=16m²-20（m²-36）＞0，化为m²＜180．
∴x₁+x₂=$-\frac{4m}{5}$，
∴y₁+y₂=-2（x₁+x₂）-2m=$-\frac{2m}{5}$．
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$（-\frac{4m}{5}，\frac{2m}{5}）$，
与向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）垂直的一个向量（x，y）满足$-\frac{4m}{5}$x-$\frac{2m}{5}y$=0，
只有把答案中的C给出的（1，-2）代入满足上式：$-\frac{4m}{5}$×1-$\frac{2m}{5}$×（-2）=0，
故选：C．

点评 本题考查了数量积的坐标运算性质、直线与圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．