题目内容
20.给出下列命题:①角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,则sinα=|MP|;
②存在x∈(0,$\frac{π}{2}$),使sinx+cosx=$\frac{1}{3}$;
③将函数y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度,得到的函数关于($\frac{π}{2}$,0)成中心对称;
④y=sinx与y=x在定义域R上有且只有一个公共点.
其中错误的命题为①②(把所有符合要求的命题序号都填上).
分析 根据正弦线的定义,可判断①;根据辅助角公式及正弦型函数的图象和性质,可判断②;根据函数图象的变换方式及正弦型函数的图象和性质,可判断③;分析函数f(x)=sinx-x零点的个数,可判断④.
解答 解:①角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,则sinα=$\overrightarrow{MP}$,故错误;
②当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时,sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)∈(1,$\sqrt{2}$],$\frac{1}{3}$∉(1,$\sqrt{2}$],故错误;
③将函数y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x+$\frac{π}{4}$)的图象,
再向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度,得到的函数y=sin(x+$\frac{π}{2}$)=cosx的图象,关于($\frac{π}{2}$,0)成中心对称,故正确;
④令f(x)=sinx-x,则f′(x)=cosx-1≤0恒成立,故f(x)在R为减函数,
又由f(0)=0,故f(x)有且只有一个零点,故y=sinx与y=x在定义域R上有且只有一个公共点,故④正确;
故错误的命题有:①②,
故答案为:①②
点评 本题以命题的真假判断为载体,考查了三角函数线,正弦型函数的图象和性质,函数图象的变换,函数图象的交点等知识点,难度中档.
练习册系列答案
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A. | (-$\frac{3}{8}$,-$\frac{1}{8}$) | B. | (-$\frac{3}{8}$,$\frac{1}{8}$) | C. | ($\frac{3}{10}$,-$\frac{1}{10}$) | D. | ($\frac{3}{10}$,$\frac{1}{10}$) |
9.某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间,对[25,55]岁的人群随机抽取了100人进行调查,得到各年龄段人数频率分布直方图.同时对这100人是否参加“商品抢购”进行统计,结果如下表:
(1)求统计表中a和p的值;
(2)从年龄落在(40,50]内的参加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查,在抽取的6人中,有随机的2人感到“满意”,设感到“满意”的2人中年龄在(40,45]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.
(3)通过有没有95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关?说明你的理由.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
(1)求统计表中a和p的值;
(2)从年龄落在(40,50]内的参加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查,在抽取的6人中,有随机的2人感到“满意”,设感到“满意”的2人中年龄在(40,45]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.
(3)通过有没有95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关?说明你的理由.
组数 | 分组 | 抢购商品的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | [25,30) | 12 | 0.6 |
第二组 | [30,35) | 18 | p |
第三组 | [35,40) | 10 | 0.5 |
第四组 | [40,45) | a | 0.4 |
第五组 | [45,50) | 3 | 0.3 |
第六组 | [50,55) | 1 | 0.2 |
P(χ2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |