Question

5．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），两焦点F₁，F₂，P为椭圆上一点，若存在$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=c²，求e的范围．

Answer 1

分析 可设P（asinθ，bcosθ），可写出F₁，F₂的坐标，从而得出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}={a}^{2}si{n}^{2}θ-{c}^{2}+{b}^{2}co{s}^{2}θ={c}^{2}$，从而可以得到$si{n}^{2}θ=\frac{2{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，而根据0≤sin²θ≤1便可得到$\left\{\begin{array}{l}{2{c}^{2}-{b}^{2}≥0}\\{2{c}^{2}-{b}^{2}≤{a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，进一步便得到$\left\{\begin{array}{l}{3{c}^{2}≥{a}^{2}}\\{2{c}^{2}≤{a}^{2}}\end{array}\right.$，这样即可求出$\frac{c}{a}$的范围，即e的范围．

解答 解：设P（asinθ，bcosθ），F₁（-c，0），F₂（c，0）；
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-c-asinθ，-bcosθ）$，$\overrightarrow{{PF}_{2}}=（c-asinθ，-bcosθ）$；
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}={a}^{2}si{n}^{2}θ-{c}^{2}+{b}^{2}co{s}^{2}θ={c}^{2}$；
∴a²sin²θ+b²（1-sin²θ）=2c²；
∴（a²-b²）sin²θ=2c²-b²；
∴$si{n}^{2}θ=\frac{2{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$；
∴$0≤\frac{2{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}≤1$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{c}^{2}-{b}^{2}≥0}\\{2{c}^{2}-{b}^{2}≤{a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{c}^{2}≥{a}^{2}}\\{2{c}^{2}≤{a}^{2}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≥\frac{1}{3}}\\{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤\frac{c}{a}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴e的范围为$[\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

点评 考查根据sin²θ+cos²θ=1设椭圆上点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，a²=b²+c²，椭圆离心率的概念及计算公式．