题目内容
4.已知函数f(x)=a-be-x的图象在x=0处的切线方程为y=x.(e是自然对数的底数,e=2.71828…)(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ) 若g(x)=mlnx-e-x+$\frac{1}{2}$x2-(m+1)x+1(m>0),求函数h(x)=g(x)-f(x)的单调区间.
分析 (Ⅰ)求出函数的导数,求得切线的斜率,即有f(0)=0,f′(0)=1,解方程可得a=b=1;
(Ⅱ)化简h(x),求得导数,对m讨论,当0<m<1时,当m=1时,当m>1时,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,可得减区间.
解答 解:(Ⅰ)函数f(x)=a-be-x的导数为f′(x)=be-x,
即有f(0)=0,f′(0)=1,则a-b=0,b=1,
解得a=b=1;
(Ⅱ)由题意得h(x)=mlnx+$\frac{1}{2}$mx2-(m+1)x,x>0,
h′(x)=$\frac{m}{x}$+x-(m+1)=$\frac{{x}^{2}-(m+1)x+m}{x}$=$\frac{(x-m)(x-1)}{x}$,
(1)当0<m<1时,令h′(x)>0,并注意到函数的定义域(0,+∞),
得0<x<m或x>1,则h(x)的增区间是(0,m),(1,+∞);
同理可求h(x)的减区间是(m,1);
(2)当m=1时,h′(x)≥0,则h(x)是定义域(0,+∞)内的增函数;
(3)当m>1时,令h′(x)>0,并注意到函数的定义域(0,+∞)得0<x<1或x>m,
则h(x)的增区间是(0,1),(m,+∞); 同理可求h(x)的减区间是(1,m).
点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,正确求导和运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
练习册系列答案
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12.复数z=$\frac{i}{1+3i}$在复平面上对应点是( )
A. | (-$\frac{3}{8}$,-$\frac{1}{8}$) | B. | (-$\frac{3}{8}$,$\frac{1}{8}$) | C. | ($\frac{3}{10}$,-$\frac{1}{10}$) | D. | ($\frac{3}{10}$,$\frac{1}{10}$) |
9.某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间,对[25,55]岁的人群随机抽取了100人进行调查,得到各年龄段人数频率分布直方图.同时对这100人是否参加“商品抢购”进行统计,结果如下表:
(1)求统计表中a和p的值;
(2)从年龄落在(40,50]内的参加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查,在抽取的6人中,有随机的2人感到“满意”,设感到“满意”的2人中年龄在(40,45]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.
(3)通过有没有95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关?说明你的理由.
附:K2=$\frac{n(ad-bc)2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
(1)求统计表中a和p的值;
(2)从年龄落在(40,50]内的参加“商品抢购”的人群中,采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查,在抽取的6人中,有随机的2人感到“满意”,设感到“满意”的2人中年龄在(40,45]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.
(3)通过有没有95%的把握认为,进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关?说明你的理由.
组数 | 分组 | 抢购商品的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | [25,30) | 12 | 0.6 |
第二组 | [30,35) | 18 | p |
第三组 | [35,40) | 10 | 0.5 |
第四组 | [40,45) | a | 0.4 |
第五组 | [45,50) | 3 | 0.3 |
第六组 | [50,55) | 1 | 0.2 |
P(χ2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
16.已知i为虚数单位,若复数z满足z•(-i)=2015+2016i,则$\overline{z}$为( )
A. | 2015+2016i | B. | 2015-2016i | C. | -2016+2015i | D. | -2016-2015i |
13.正项等比数列{an}中,a6-a4=24,a3a5=64,则{an}的前8项和为( )
A. | 63 | B. | 127 | C. | 128 | D. | 255 |