题目内容
7.现有质地均匀、大小相同、颜色分别为红、黄、蓝的小球各3个,从中随机抽取n个球(1≤n≤9),(1)当n=3时,记事件A={抽取的三个小球中恰有两个小球颜色相同}.求P(A);
(2)当n=2时,若用ξ表示抽到的红球的个数.
①求ξ的概率分布;
②令η=-λ2ξ+λ+1,E(η)>1.求实数λ的取值范围.
分析 (1)总的基本事件数为C93,事件A,可从三类中任取一类,再从该类的3个中任取2个,然后再从其余两类的6个中任取1个,由分步计数原理可得种数,进而可得概率;
(2)①ξ可能的取值为0,1,2,分别求其概率可得分布列;
②易求得期望E(ξ),进而可得E(η),由E(η)>1可得关于λ的不等式,解之可得.
解答 解:(1)当n=3时,即从9个小球中抽取3个,故总的基本事件数为C93,
事件A,可从三类中任取一类共C31种,再从该类的3个中任取2个共C32种,
然后再从其余两类的6个中任取1个共C61种,故总共C31C32C61种,
所以$P(A)=\frac{C_3^1•C_3^2•C_6^1}{C_9^3}=\frac{9}{14}$…4分
(2)①ξ可取0,1,2,则
$P(ξ=0)=\frac{C_6^2}{C_9^3}=\frac{5}{12}$,
$P(ξ=1)=\frac{C_3^1•C_6^1}{C_9^3}=\frac{1}{2}$,
$P(ξ=2)=\frac{C_3^2}{C_9^3}=\frac{1}{12}$…7分
分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | $\frac{5}{12}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{12}$ |
②$E(ξ)=\frac{2}{3}$…10分E(η)=-λ2E(ξ)+λ+1,E(η)>1
所以$-\frac{2}{3}{λ^2}+λ+1>1$
所以$0<λ<\frac{3}{2}$…14分.
点评 本题考查离散型随即变量及其分布列,涉及数学期望的求解,属中档题.
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