题目内容

8.求$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的取值范围.

分析 化$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{(x-1)^{2}+1}-\sqrt{(x-2)^{2}+3}$,由其几何意义作出图形,数形结合得答案.

解答 解:$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{(x-1)^{2}+1}-\sqrt{(x-2)^{2}+3}$.
其几何意义为动点P(x,0)到定点A(1,1)的距离与动点(x,0)到定点B(2,3)的距离差.
如图,

当P(x,0)为线段BA的延长线与x轴交点时,有最小值为-$\sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2}}=-\sqrt{5}$,
当x→+∞时,动点P(x,0)到定点A(1,1)的距离与动点(x,0)到定点B(2,3)的距离差趋于$\sqrt{5}$.
∴$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的取值范围是[-$\sqrt{5},\sqrt{5}$).

点评 本题考查函数的最值及其几何意义,考查了数形结合的解题思想方法,属中高档题.

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