题目内容
17.已知f(x)=x2+$\frac{a}{{x}^{2}}$,是否存在实数a,使f(x)在(0,2]上单调递减,在(2,+∞) 上单调递增?分析 若存在实数a,使f(x)在(0,2]上单调递减,在(2,+∞) 上单调递增,则f′(2)=0,求出a值,分析函数的单调性,综合讨论结果,可得答案.
解答 解:∵f(x)=x2+$\frac{a}{{x}^{2}}$,
∴f′(x)=2(x-$\frac{a}{{x}^{3}}$)=$\frac{2({x}^{4}-a)}{{x}^{3}}$,
若存在实数a,使f(x)在(0,2]上单调递减,在(2,+∞) 上单调递增
则当x=2时,f′(x)=0,解得:a=16,
当x∈(0,2]时,f′(x)=$\frac{2({x}^{4}-16)}{{x}^{3}}$≤0,f(x)为减函数,
当x∈(2,+∞) 时,f′(x)=$\frac{2({x}^{4}-16)}{{x}^{3}}$>0,f(x)为增函数,
故a=16
点评 本题考查的知识点是导数在研究函数单调性时的应用,难度中档.
练习册系列答案
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A. | (-$∞,\frac{3}{4}$)∪($\frac{5}{4},+∞$) | B. | (-$∞,\frac{3}{4}$]∪[$\frac{5}{4},+∞$) | C. | [$\frac{3}{4},\frac{5}{4}$] | D. | ($\frac{3}{4},\frac{5}{4}$) |