题目内容
8.已知-4<x<1,求y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2(x-1)}$的最大值.分析 令x-1=t(-5<t<0),将函数化简可得$\frac{(x-1)^{2}+1}{2(x-1)}$=$\frac{1}{2}$(x-1+$\frac{1}{x-1}$)=$\frac{1}{2}$(t+$\frac{1}{t}$),运用基本不等式即可得到最大值,求得等号成立的条件.
解答 解:令x-1=t(-5<t<0),
则y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2(x-1)}$=$\frac{(x-1)^{2}+1}{2(x-1)}$
=$\frac{1}{2}$(x-1+$\frac{1}{x-1}$)=$\frac{1}{2}$(t+$\frac{1}{t}$)
=-$\frac{1}{2}$(-t+$\frac{1}{-t}$)≤-$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{(-t)•\frac{1}{-t}}$=-1.
当且仅当t=-1即x=0时,取得最大值-1.
点评 本题考查函数的最值的求法,考查基本不等式的运用,注意满足的条件:一正二定三等,属于中档题.
练习册系列答案
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