Question

2．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（a，b∈N₊），又f（2）＜3，f（1）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$]时，不等式f（x）-mx+1≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（2）＜3，f（1）=2，即有$\frac{4a+1}{2b}$＜3，且a+1=2b，结合a，b为正整数，解得a=b=1，即可得到解析式；
（2）运用参数分离，可得m≤$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1的最小值，由g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由x的范围，运用单调性即可得到最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）f（2）＜3，f（1）=2，
即有$\frac{4a+1}{2b}$＜3，且a+1=2b，
解得a＜2，由a∈N₊，
可得a=1，b=1，
即有f（x）=x+$\frac{1}{x}$；
（2）当x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$]时，不等式f（x）-mx+1≥0恒成立，即为
m≤$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1的最小值，
由g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由x∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$]，可得$\frac{1}{x}$∈[2，6]，为递增，
当$\frac{1}{x}$=2，即x=$\frac{1}{2}$时，可得g（x）的最小值为7，
则有m≤7．
即有实数m的取值范围为（-∞，7]．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．