Question

在数列{a_n}（n∈N*）中，已知a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，k∈N*. 记数列{a_n}的前n项和为S_n.
（1）求S₅，S₇的值；
（2）求证：对任意n∈N*，S_n≥0.

Answer 1

(1) S₅＝3，S₇＝1.
(2)根据已知的递推关系，然后结合整体的思想来分析得到，然后运用数学归纳法加以证明。

试题分析：解：（1）根据题意， 由于a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，
故有 故可知S₅＝3，S₇＝1.        2分
（2）由题设的定义可知，对于每个正整数k，有
.                                                ①
_.                                              ②       4分
则 ，③
.                     ④       6分
下面证明对于所有的n≥1，S_n≥0.
对于k，用数学归纳法予以证明.
当i＝1，2，3，4，即k=0时，S₁＝1，S₂＝0， S₃＝1， S₄＝2.
假设对于所有的i≤4k，S_i≥0，则由①、②、③、④知，
S_4k+4＝2S_k+1≥0，
S_4k+2＝S_4k≥0，
S_4k+3＝S_4k+2＋a_4k+3＝S_4k+2＋a_4k+4＝S_4k+2＋(S_4k+4－S_4k+3)，S_4k+3＝≥0.
接下来证明：S_4k+1≥0.
若k是奇数，则S_4k＝2S_k≥2.
因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知S_k也是一个奇数. 于是
S_4k≥2. 因此，S_4k+1＝S_4k＋a_4k+1≥1.
若k是偶数，则a_4k+1＝a_2k+1＝a_k+1. 所以S_4k+1＝S_4k＋a_4k+1＝2S_k＋a_k+1＝S_k＋S_k＋1≥0.
综上，对于所有的n≥1，S_n≥0.                                     10分
点评：解题的关键是通过具体的例子归纳猜想结论，结合数学归纳法加以证明，属于中档题。