Question

14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆上一点P（3，2）到两焦点的距离之和为8；
（2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15．

Answer 1

分析 （1）由条件利用椭圆的定义、性质、标准方程，分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，分别求得椭圆的标准方程．
（2）由条件利用椭圆的定义、性质、标准方程，分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，分别求得椭圆的标准方程．

解答 解：（1）①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）．
由题意知2a=8，∴a=4．
又点P（3，2）在椭圆上，∴$\frac{9}{16}+\frac{4}{b^2}=1$，得b²=$\frac{64}{7}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{{\frac{64}{7}}}=1$．
②若焦点在y轴上，设椭圆标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵2a=8，∴a=4．
又点P（3，2）在椭圆上，∴$\frac{4}{16}+\frac{9}{b^2}=1$，得b²=12，∴椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$．
由①②知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{{\frac{64}{7}}}=1$或$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$．
（2）由题意知，2c=16，2a=9+15=24，∴a=12，b²=80．
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴所求方程为$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{80}=1$或$\frac{y^2}{144}+\frac{x^2}{80}=1$．

点评 本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．