题目内容

3.在数列{an}中,已知a1+a1+…+an=2n-1,则a12+a12+…+an2等于$\frac{{4}^{n}-1}{3}$.

分析 利用Sn与an关系,得出an2=4n-1,得出数列{an2}是以4为公比的等比数列,利用等比数列求和公式计算即可.

解答 解:∵a1+a2+…+an=2n-1 ①
∴a1+a2+…+an+1+an+1=2n+1-1②,
②-①得an+1=2n
∴an=2n-1,n=1也成立.
即有an2=4n-1
数列{an2}是以4为公比的等比数列,
由a1=2-1=1,得a12=1,
由等比数列求和公式得a12+a22+…+an2=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$.
故答案为:$\frac{{4}^{n}-1}{3}$.

点评 本题考查了Sn与an关系的具体应用,等比数列的定义,判断,求和公式,属于中档题.

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