Question

（13分）某家庭为小孩买教育保险，小孩在出生的第一年父母就交纳保险金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的保险金数目为a₁,a₂,…是一个公差为d的等差数列，与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定利率为r（ｒ＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的保险金就变为a₂（1+r）^n-2,…，以Tn表示到第n年末所累计的保险金总额。
（1）写出T_n与T_n+1的递推关系（n≥1）；
（2）若a₁=1,d=0.1，求｛T_n｝的通项公式。（用r表示）

Answer 1

（1）T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd ；（2）Tn=。

本题考查数列模型的构建，考查错位相减法的运用，解题的关键是正确构建数列模型．
（Ⅰ）根据在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的保险金就变成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到结论；
（Ⅱ）根据已知中Tn所表示的实际意义，根据T_n表示到第n年末所累计的储备金总额，及储备金总额的计算方法计算T_n，然后对其进行分解，并对分解结合等差数列等比数列的定义进行分析，不难得到结果．
解：（1）T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd （6分）
（2）T_n+1=T_n（1+r）+  T₁=a₁=1
用待定系数法：T_n+1+A（n+1）+B=（1+r）（T_n+An+B）
解得：A=
Tn=（7分）